1) Dessiner le graphe de la fonction définie par
$f_1(t) = sin(t)U(t)+sin(t-\pi)U(t-\pi)$
2) Calculer la transformée de Laplace de $f_1$
On a : ${\mathscr L} ( \sin(t)U(t)) = \dfrac{1}{p^2+1}$ et ${\mathscr L} ( f(t-t_0)U(t-t_0) = F(p)\times e^{-t_0p}$
Donc ${\mathscr L} ( \sin(t-\pi)U(t-\pi)) = \dfrac{1}{p^2+1}\times e^{-\pi p}$
Finalement ${\mathscr L} ( f_1 ) = F( p ) = \dfrac{1}{p^2+1}\times (1+e^{-\pi p})$
3) On définit alors $f$, une fonction $\pi$-périodique égale à $f_1$ sur $[0;\pi]$.
Pour $N\in I\!\!N^*$, on considère la fonction $f_N$ égale à $f$ sur $[0;N\pi]$ et nulle partout ailleurs.
Déterminer la transformée de Laplace notée $F_N$ de la fonction $f_N$
Puisque la transformée de $f_1$ est $F_1$
Celle de $f_2$ est $F_1+F_1\times e^{-\pi p}$ car le second motif est est le même que le premier mais il est en retard sur celui-ci de $\pi$.
Puis celle de $f_3$ est $F_1+F_1\times e^{-\pi p}+F_1\times e^{-2\pi p}$ car le troisième motif est en retard de $2\pi$ sur le premier.
Plus généralement, la transformée de $f_N$ est donc $$F_N(p) = F_1+F_1\times e^{-\pi p}+\cdots +F_1\times e^{-(N-1)\pi p}$$
On reconnaît la somme des $N$ premiers termes consécutifs d'une suite géométrique.
Elle a pour raison $e^{-\pi p}$ et pour premier terme 1.
On utilise alors le résultat : $S_N=\text{1er terme}\times \dfrac{1-\text{raison}^{\text{nb de termes}}}{1-\text{raison}} $ donc $S_N = \dfrac{1-e^{-N\pi p}}{1-e^{-\pi p}}$
5) On suppose alors que la variable $p$ est un réel. Calculer $\lim\limits_{N\rightarrow +\infty}S_N$
Lorsque $N$ tend vers $+\infty$, le terme $e^{-N\pi p}$ tend vers 0 donc $S_N$ tend vers $\dfrac{1-0}{1-e^{-\pi p}}$
6) En déduire la transformée de Laplace de $f$.
D'après ce qui précède $f$ est vue comme la limite de $f_N$ lorsque $N$ tend vers $+\infty$ donc la transformée de $f$ est vue comme la limite de $F_N$ lorsque $N$ tend vers $+\infty$
Finalement : $F_N(p) = F_1(p)\times \dfrac{1}{1-e^{-\pi p}} = \dfrac{1}{p^2+1}\times (1+e^{-\pi p})\times \dfrac{1}{1-e^{-\pi p}}$
